矩阵论基础知识

矩阵论是研究矩阵及其运算、性质与应用的数学分支，是线性代数的核心，在工程、物理、计算机科学、统计学等领域有广泛应用。

本文按 由浅入深、循序渐进 的方式组织：先建立矩阵的基本概念与运算，再引入行列式、秩、逆等方阵工具，然后讨论结构特殊的矩阵与复数情形，最后进入特征值、矩阵分解、范数等进阶主题，并以应用示例收尾。

导读：学习路径

阶段	章节	核心内容	目标
入门	§1–§2	定义、记号、特殊矩阵、基本运算	会读会写矩阵，掌握加减乘与转置
基础工具	§3–§5	行列式、秩、逆矩阵	判断可逆性，理解方程组解的结构
结构性质	§6–§7	对称/正交/正定矩阵；复数与共轭转置	识别常见矩阵类型，进入复数域
进阶理论	§8–§10	特征值、矩阵分解、范数与条件数	理解对角化、SVD 与数值稳定性
综合应用	§11	方程组、PCA、图论、机器学习等	将理论与实际问题对应

建议：每读完一节，先动手算一遍例题，再进入下一节。逆矩阵（§5）依赖行列式（§3）与秩（§4）；特征值（§8）依赖行列式；范数（§10）依赖 SVD 中的奇异值概念（§9）。

§1 矩阵的定义与基础记号

1.1 什么是矩阵

设 $m, n$ 为正整数，由 $m \times n$ 个数排成 $m$ 行 $n$ 列的数表，称为 $m \times n$ 矩阵：

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

$a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的 (i, j) 元（第 $i$ 行第 $j$ 列的元素）
$m \times n$ 称为矩阵的阶或维数
行数与列数相等的矩阵称为方阵（ $n$ 阶方阵）

例：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \text{是 } 2 \times 3 \text{ 矩阵，} a_{12} = 2,\; a_{21} = 4

B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{是 } 2 \text{ 阶方阵}

1.2 基础记号

初学阶段常用记号如下；更进阶的符号在首次出现时会再说明，完整一览见附录：记号一览。

记号	含义
$a_{ij}$ 或 $(A)_{ij}$	第 $i$ 行、第 $j$ 列元素
$m \times n$	矩阵的阶（ $m$ 行 $n$ 列）
$\mathbb{R}^{m \times n}$ 、 $\mathbb{C}^{m \times n}$	所有 $m \times n$ 实（复）矩阵的集合
$I_n$ 或 $I$	$n$ 阶单位矩阵
$O$ 或 $\mathbf{0}$	零矩阵
$A^T$	转置矩阵
$\mathbf{x}$ 、 $\mathbf{v}$	列向量（粗体小写字母）
$A^k$	$A$ 的 $k$ 次幂（ $k$ 次自乘， $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ ）

§2 特殊矩阵与基本运算

先认识几种最简单的矩阵，再学习如何对它们做运算——这是后续一切讨论的基础。

2.1 常见特殊矩阵

名称	定义
零矩阵 $O$	所有元素均为 0
单位矩阵 $I_n$	主对角线为 1，其余为 0 的 $n$ 阶方阵
对角矩阵	非主对角线元素全为 0，常记为 $\text{diag}(d_1,\ldots,d_n)$

例：

I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \Lambda = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{（对角矩阵）}

对任意同阶方阵 $A$ ，有 $AI = IA = A$ ；对零矩阵，有 $A + O = A$ 。

2.2 加法与数乘

同阶矩阵可相加，对应元素相加；数 $\lambda$ 与矩阵相乘，每个元素乘以 $\lambda$ 。

例：

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}, \quad 3 \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}

2.3 矩阵乘法

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则乘积 $C = AB$ 为 $m \times p$ 矩阵：

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

注意：矩阵乘法一般 不满足交换律，即 $AB \neq BA$ （即使两者都有定义）。

例：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\; B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix},\; BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow AB \neq BA

行向量左乘列向量得到标量（内积）：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32

2.4 转置

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$ ，即行列互换。重要性质： $(AB)^T = B^T A^T$ 。

例：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

验证 $(AB)^T = B^T A^T$ ：用上式 $A, B$ ， $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ ，故 $(AB)^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ；而 $B^T A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ 。

小结（§2）：已掌握矩阵的"语法"——如何构造、相加、相乘、转置。下一节引入方阵的标量不变量 行列式。

§3 行列式

行列式是方阵对应的一个标量，记为 $\det(A)$ 、 $|A|$ 或（部分文献中） $\|A\|$ （勿与后文的矩阵范数混淆）。

3.1 基本性质

交换两行，行列式变号
某行乘以 $k$ ，行列式乘以 $k$
某行加上另一行的倍数，行列式不变
$\det(AB) = \det(A)\det(B)$
$\det(A^T) = \det(A)$

3.2 低阶计算公式

\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

3 阶行列式可用 Sarrus 法则 或 按行（列）展开 计算。记

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Sarrus 法则（仅适用于 3 阶）：将矩阵的前两列再抄写到右侧，形成"扩展"的 $3 \times 5$ 数表。沿三条主对角线（左上 $\to$ 右下）各取三数相乘后相加，再减去沿三条副对角线（右上 $\to$ 左下）各取三数相乘之和：

\begin{aligned} \det(A) &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{12}a_{21}a_{33} + a_{11}a_{23}a_{32}\bigr) \end{aligned}

此法便于手算记忆，但不推广到 4 阶及以上。

按行（列）展开（Laplace 展开）：删去第 $i$ 行第 $j$ 列后得到的 2 阶子矩阵的行列式，称为 $(i,j)$ 余子式 $M_{ij}$ ；代数余子式 定义为 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 。沿任意一行或一列展开：

\det(A) = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} A_{ij} \quad \text{（按第 $i$ 行）}, \qquad \det(A) = \sum_{i=1}^{3} a_{ij} A_{ij} \quad \text{（按第 $j$ 列）}

展开时各项符号依 $(-1)^{i+j}$ 交替（棋盘格规律）。此法对任意阶方阵均有效，高阶行列式通常按此方法（或结合初等行变换）计算。

3.3 例

2 阶：

\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1

3 阶（按第一行展开）：

\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -24 + 40 - 15 = 1

性质验证：交换前两行， $\det \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 5 - 6 = -1$ ，符号相反。

小结（§3）：行列式 $\det(A) \neq 0$ 是方阵可逆的第一个判据。下一节从线性无关的角度引入秩，并与方程组解联系起来。

§4 秩与线性方程组

4.1 秩的定义

矩阵 $A$ 的秩 $\text{rank}(A)$ 是其列向量组（或行向量组）的极大线性无关组所含向量的个数。

$\text{rank}(A) \leq \min(m, n)$
可逆 $n$ 阶方阵的秩等于 $n$

秩的求法

方法	适用情形	要点
初等行变换	任意 $m \times n$ 矩阵（最常用）	化为行阶梯形，主元个数 $=$ $\text{rank}(A)$
行列式	$n$ 阶方阵	$\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow \text{rank}(A) = n$
观察线性相关性	低阶、结构简单	若某行（列）为其余行（列）的线性组合，则秩小于阶数

方法一：初等行变换（推荐）

对 $A$ 施以初等行变换（交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数），化为 行阶梯形 或 行最简形（RREF）。非零行的个数即为秩；等价地，主元列的个数也为秩。

例（与 §4.3 相同矩阵）：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

第 1 步： $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ ， $R_3 \leftarrow R_3 - R_1$ ：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}

第 2 步： $R_2 \leftrightarrow R_3$ ， $R_2 \leftarrow -R_2$ ：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

两行非零，主元在第 $1$ 、 $2$ 列，故 $\text{rank}(A) = 2$ 。继续化为行最简形： $R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$ ，得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，可读出 $c_3 = -c_1 + 2c_2$ 。

方法二：行列式（仅方阵）

$n$ 阶方阵 $A$ 满秩 $\Leftrightarrow \det(A) \neq 0$ 。若 $\det(A) = 0$ ，则 $\text{rank}(A) < n$ ，需进一步化简求精确秩。

方法三：观察线性相关性

若可直接看出某行（列）是其余行（列）的倍数或线性组合，可快速判断秩。如 §4.3 中第 $2$ 行 $= 2 \times$ 第 $1$ 行，立知 $\text{rank}(A) \leq 2$ ；再结合第 $3$ 行与第 $1$ 行不成比例，得 $\text{rank}(A) = 2$ 。

注： $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T)$ （行秩 $=$ 列秩）；初等列变换不改变秩。

4.2 秩与方程组

对 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有解，当且仅当

\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])

其中 $[A \mid \mathbf{b}]$ 为 增广矩阵（将列向量 $\mathbf{b}$ 拼在 $A$ 右侧）。

4.3 例

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

第 2 行 = 2 × 第 1 行，故列向量中线性无关的最多 2 个， $\text{rank}(A) = 2$ 。

解方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ， $\mathbf{b} = (6, 12, 3)^T$ ：

[A \mid \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \vert & 6 \\ 2 & 4 & 6 & \vert & 12 \\ 1 & 1 & 1 & \vert & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}]) = 2

方程有解（无穷多解）。若 $\mathbf{b} = (6, 12, 4)^T$ ，则 $\text{rank}([A \mid \mathbf{b}]) = 3 > 2$ ，无解。

小结（§4）：秩刻画了矩阵"有效维度"。结合行列式，可以完整讨论方阵的逆。

§5 逆矩阵

若 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ ，则 $A$ 可逆， $A^{-1}$ 称为 $A$ 的逆矩阵。

5.1 可逆的充要条件

以下等价（ $A$ 为 $n$ 阶方阵）：

$\det(A) \neq 0$
$\text{rank}(A) = n$
$A$ 的列（行）向量线性无关
对任意 $\mathbf{b}$ ， $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有唯一解

5.2 2 阶求逆公式

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad \det(A) = ad - bc \neq 0 \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

5.3 例

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix},\quad \det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1 \neq 0

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}

验证： $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = I_2$ 。

小结（§5）：逆矩阵是"乘法意义下的倒数"。下面讨论具有特定结构的矩阵——它们在线性变换与二次型中反复出现。

§6 结构特殊的矩阵（实数情形）

在掌握基本运算与逆之后，可以识别并运用几类重要的 实矩阵。

名称	定义	几何 / 代数意义
对称矩阵	$A^T = A$	二次型 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 的系数矩阵
反对称矩阵	$A^T = -A$	对角元必为 0
正交矩阵	$A^T A = I$	列向量两两正交且为单位长；保长度、保角度
正定矩阵	对称，且 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$ （ $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ ）	二次型恒正；Cholesky 分解的前提

迹 $\text{tr}(A)$ 定义为对角元之和；对称矩阵的迹等于其特征值之和（见 §8）。

6.1 例

对称矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ ，因为 $A^T = A$ ， $\text{tr}(A) = 1 + 3 = 4$ 。

反对称矩阵： $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ ，因为 $B^T = -B$ 。

正交矩阵（旋转矩阵）：

R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, \quad \theta = 90° \Rightarrow R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\; R^T R = I

正定矩阵： $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ，对 $\mathbf{x} = (1, -1)^T$ 有 $\mathbf{x}^T P \mathbf{x} = 2 > 0$ 。

小结（§6）：实数域上，转置 $A^T$ 足以描述对称与正交。当元素为复数时，需要推广到共轭转置——见下一节。

§7 复数矩阵

在实数范围内，矩阵元素都是实数，转置 $A^T$ 就足够了。当元素为复数时，需要引入共轭的概念。

7.1 复数的共轭

设 $z = a + bi$ （ $a, b \in \mathbb{R}$ ， $i^2 = -1$ ），其 共轭复数（简称共轭）为：

\bar{z} = z^* = a - bi

几何上，复平面 用坐标 $(a, b)$ 表示所有复数 $z = a + bi$ （ $a$ 为实部， $b$ 为虚部）。横轴为实轴（Re），竖轴为虚轴（Im）。共轭运算将 $z$ 映为 $\bar{z}$ ，在坐标上即

z = a + bi \;\longleftrightarrow\; (a,\, b), \qquad \bar{z} = a - bi \;\longleftrightarrow\; (a,\, -b)

实部 $a$ 不变，虚部 $b$ 变号——相当于在复平面上关于实轴（横轴）做镜像对称。取原点 $O = (0, 0)$ 为实轴与虚轴的交点，则 $z$ 、垂足 $(a, 0)$ 、 $\bar{z}$ 落在同一条竖直线 $x = a$ 上：

        Im (虚轴)
         ↑
         |
         |           • z = a + bi  ↔  (a, b)
         |           |
         |           | 虚部 b
         |           |
  ───────┼───────────┼──────────→ Re (实轴)
      O(0,0)       (a, 0)              实部 a
         |           |
         |           | 虚部 −b
         |           |
         |           • z̄ = a − bi  ↔  (a, −b)

图中 • 表示复平面上的点； $O$ 为坐标原点， $(a, 0)$ 是 $z$ 在实轴上的垂足。 $z$ 与 $\bar{z}$ 关于实轴对称，虚部互为相反数。

性质	公式
共轭的和	$\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2$
共轭的积	$\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2$
模长平方	$z\bar{z} = \\|z\\|^2 = a^2 + b^2$
实数不变	$z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \bar{z} = z$
纯虚数	$z = bi \Leftrightarrow \bar{z} = -z$

例：

z = 3 + 4i \Rightarrow \bar{z} = 3 - 4i,\quad z\bar{z} = 9 + 16 = 25 = \|z\|^2

\overline{(1+i)(2-i)} = (1-i)(2+i) = 3 + i

复数的运算

设 $z_1 = a_1 + b_1 i$ ， $z_2 = a_2 + b_2 i$ （ $a_k, b_k \in \mathbb{R}$ ），常用实部 $\mathrm{Re}(z) = a$ 、虚部 $\mathrm{Im}(z) = b$ （注意 $\mathrm{Im}(z)$ 取实数值 $b$ ，而非 $bi$ ）。

运算	公式
加法	$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$
减法	$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$
乘法	$z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i$
除法	$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \bar{z}_2}{z_2 \bar{z}_2} = \dfrac{z_1 \bar{z}_2}{\\|z_2\\|^2}$ （ $z_2 \neq 0$ ）
模（长度）	$\\|z\\| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\bar{z}}$
倒数	$\dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar{z}}{\\|z\\|^2}$ （ $z \neq 0$ ）

加减法按实部、虚部分别相加减；乘法展开时利用 $i^2 = -1$ ；除法将分子分母同乘分母的共轭 $\bar{z}_2$ ，使分母变为实数 $\|z_2\|^2$ （有理化）。

例：

(1 + 2i) + (3 - i) = 4 + i

(1 + i)(2 - i) = 2 - i + 2i - i^2 = 3 + i

\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i}{2} = i

\|3 + 4i\| = \sqrt{9 + 16} = 5

7.2 矩阵共轭与共轭转置

矩阵共轭 $\bar{A}$ ：对 $A$ 的 每个元素 分别取共轭，即 $(\bar{A})_{ij} = \overline{a_{ij}}$ 。
共轭转置 $A^* = A^H = (\bar{A})^T$ ：先转置，再对每个元素取共轭（等价于先取共轭再转置）。

例：

A = \begin{pmatrix} 1+i & 2 \\ 0 & 3-i \end{pmatrix} \Rightarrow \bar{A} = \begin{pmatrix} 1-i & 2 \\ 0 & 3+i \end{pmatrix},\quad A^* = \begin{pmatrix} 1-i & 0 \\ 2 & 3+i \end{pmatrix}

7.3 复数域上的特殊矩阵

实数情形	复数情形
对称矩阵： $A^T = A$	Hermite 矩阵： $A^* = A$
反对称矩阵： $A^T = -A$	反 Hermite 矩阵： $A^* = -A$
正交矩阵： $A^T A = I$	酉矩阵（Unitary）： $A^* A = I$

Hermite 矩阵的对角元必为实数（因为 $a_{ii} = \overline{a_{ii}}$ ），非对角元关于主对角线 共轭对称： $a_{ij} = \overline{a_{ji}}$ 。

例： $H = \begin{pmatrix} 2 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{pmatrix}$

对角元 $2, 3$ 为实数 ✓
$H_{12} = 1+i$ ， $H_{21} = 1-i = \overline{1+i}$ ✓
故 $H^* = H$ ， $H$ 是 Hermite 矩阵

酉矩阵： $U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ ， $U^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$ ，故 $U^* U = I$ 。

小结（§7）：共轭转置 $A^*$ 是转置 $A^T$ 在复数域上的自然推广；Hermite 矩阵、酉矩阵、量子力学中的可观测量都建立在其上。

§8 特征值与特征向量

对 $n$ 阶方阵 $A$ ，若存在非零向量 $\mathbf{v}$ 和标量 $\lambda$ ，使得

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

则 $\lambda$ 称为 $A$ 的 特征值， $\mathbf{v}$ 称为对应于 $\lambda$ 的 特征向量。

直观理解：特征向量在 $A$ 作用下 只被拉伸（或压缩、反向），方向不变。

8.1 特征方程

特征值是 特征方程 的根：

\det(A - \lambda I) = 0

该多项式称为 $A$ 的 特征多项式，次数为 $n$ 。

8.2 重要结论

$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i$ （特征值之和等于迹）
$\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i$ （特征值之积等于行列式）
相似矩阵 $A \sim B$ （即 $B = P^{-1}AP$ 对某可逆 $P$ ）有相同的特征值

8.3 例

A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

特征方程：

\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 5,\; \lambda_2 = 2

$\text{tr}(A) = 7 = 5 + 2$ ✓
$\det(A) = 12 - 2 = 10 = 5 \times 2$ ✓

对 $\lambda_1 = 5$ ： $(A - 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 得 $\mathbf{v}_1 = (1, 1)^T$ 。

对 $\lambda_2 = 2$ ： $(A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 得 $\mathbf{v}_2 = (1, -2)^T$ 。

验证： $A\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5\mathbf{v}_1$ 。

小结（§8）：特征值把矩阵作用"分解"为沿各特征方向的缩放。当矩阵可对角化时，可进一步做 特征值分解（见 §9）。

§9 矩阵分解

矩阵分解将复杂矩阵拆成结构简单的因子之积，便于理论分析与数值计算。由易到难：

分解	形式	适用条件 / 主要用途
LU 分解	$A = LU$ （ $L$ 下三角， $U$ 上三角）	方阵；解线性方程组
Cholesky 分解	$A = LL^T$	对称正定矩阵
QR 分解	$A = QR$ （ $Q$ 正交， $R$ 上三角）	任意 $m \times n$ 矩阵；最小二乘
满秩分解	$A = FG$ （ $F$ 列满秩， $G$ 行满秩）	任意 $m \times n$ 矩阵；秩、列/行空间
特征值分解	$A = PDP^{-1}$ （ $D$ 对角）	$A$ 可对角化时
奇异值分解 (SVD)	$A = U\Sigma V^T$	任意矩阵；降维、图像压缩

SVD 中 $\Sigma$ 对角元 $\sigma_i \geq 0$ 称为 奇异值。

9.1 分步算例

以下用具体矩阵，按步骤手算各分解。符号与上表一致。

LU 分解

例： $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ ，解 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ， $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 。

第 1 步（ $k=1$ ）：消去第 2 行第 1 列元素。乘子 $l_{21} = a_{21}/a_{11} = 4/2 = 2$ ；第 2 行减去 2 倍第 1 行：

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{第 2 行} - 2 \times \text{第 1 行}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

第 2 步（读出 $L$ 、 $U$ ）：

L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

验证： $LU = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = A$ 。

第 3 步（解方程组）——前代 $L\mathbf{y} = \mathbf{b}$ ：

\begin{cases} y_1 = 1 \\ 2y_1 + y_2 = 1 \end{cases} \Rightarrow y_1 = 1,\; y_2 = -1

回代 $U\mathbf{x} = \mathbf{y}$ ：

\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 1 \\ x_2 = -1 \end{cases} \Rightarrow x_2 = -1,\; x_1 = 1

解为 $\mathbf{x} = (1,\, -1)^T$ 。

Cholesky 分解

例： $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ （对称正定）。

设 $L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 \\ l_{21} & l_{22} \end{pmatrix}$ ，由 $A = LL^T$ 逐元素递推：

第 1 列：

l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{4} = 2, \qquad l_{21} = \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{2}{2} = 1

第 2 列：

l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^2} = \sqrt{2 - 1} = 1

故

L = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad LL^T = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = A

QR 分解（Gram–Schmidt）

例： $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，列向量 $\mathbf{a}_1 = (1,1,0)^T$ ， $\mathbf{a}_2 = (1,0,1)^T$ 。

第 1 列：

r_{11} = \|\mathbf{a}_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \qquad \mathbf{q}_1 = \frac{\mathbf{a}_1}{r_{11}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T

第 2 列——先减去在 $\mathbf{q}_1$ 上的投影：

r_{12} = \mathbf{q}_1^T \mathbf{a}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)\cdot(1,0,1) = \frac{1}{\sqrt{2}}

\mathbf{u}_2 = \mathbf{a}_2 - r_{12}\mathbf{q}_1 = (1,0,1)^T - \frac{1}{2}(1,1,0)^T = \left(\frac{1}{2},\, -\frac{1}{2},\, 1\right)^T

归一化：

r_{22} = \|\mathbf{u}_2\| = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1} = \sqrt{\frac{3}{2}}, \qquad \mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,\,-1,\,2)^T

结果：

Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},\quad R = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} \end{pmatrix}

验证： $QR = A$ （ $Q^TQ = I$ ， $R$ 上三角）。

满秩分解

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $\text{rank}(A) = r$ 。满秩分解 将 $A$ 写成

A = FG

其中 $F$ 为 $m \times r$ 列满秩 矩阵（ $\text{rank}(F) = r$ ）， $G$ 为 $r \times n$ 行满秩 矩阵（ $\text{rank}(G) = r$ ）。 $F$ 的列张成 列空间 $\text{col}(A)$ ， $G$ 的行张成 行空间 $\text{row}(A)$ 。

例： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ （与 §4 相同， $3 \times 3$ ， $\text{rank}(A) = 2$ ）。

第 1 步（行最简形）——对 $A$ 做初等行变换：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1,\; R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3,\; R_2 \leftarrow -R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = R

主元在第 $1$ 、 $2$ 列，故 $r = 2$ 。

第 2 步（取 $F$ ）——在 原矩阵 $A$ 中取主元列（第 $1$ 、 $2$ 列）：

F = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

第 3 步（取 $G$ ）——在行最简形 $R$ 中取前 $r$ 个非零行（主元行）：

G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

第 4 步（验证）：

FG = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = A

读出行最简形的列关系（ $c_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列）： $c_3 = -c_1 + 2c_2$ ，即第 $3$ 列由主元列线性表出，与 $G$ 的第三列 $(-1,\,2)^T$ 的系数一致。

注：满秩分解不唯一（主元列选取、行变换路径不同均可给出不同的 $F,G$ ）。对 $m \times n$ 矩阵， $F$ 的阶为 $m \times r$ ， $G$ 的阶为 $r \times n$ 。

特征值分解

例： $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ （与 §8 相同）。

第 1 步（特征值）：

\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 5,\; \lambda_2 = 2

D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

第 2 步（ $\lambda_1 = 5$ 的特征向量）——解 $(A - 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ ：

\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_1 = (1,\, 1)^T

第 3 步（ $\lambda_2 = 2$ 的特征向量）——解 $(A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ ：

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_2 = (1,\, -2)^T

第 4 步（组装 $P$ ）：

P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix},\quad A = PDP^{-1}

验证： $AP = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} = PD$ 。

奇异值分解（SVD）

例： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ （非对角，便于展示完整流程）。

第 1 步（计算 $A^TA$ ）：

A^TA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}

第 2 步（ $A^TA$ 的特征值与 $V$ ）：

\det(A^TA - \lambda I) = (5-\lambda)^2 - 16 = \lambda^2 - 10\lambda + 9 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 9,\; \lambda_2 = 1

奇异值 $\sigma_1 = \sqrt{9} = 3$ ， $\sigma_2 = \sqrt{1} = 1$ 。

$\lambda_1 = 9$ ： $(A^TA - 9I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 得 $\mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1)^T$
$\lambda_2 = 1$ ： $(A^TA - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 得 $\mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,-1)^T$

V = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

第 3 步（求 $U$ ）——对 $\sigma_i > 0$ ， $\mathbf{u}_i = \dfrac{1}{\sigma_i} A\mathbf{v}_i$ ：

\mathbf{u}_1 = \frac{1}{3} A\mathbf{v}_1 = \frac{1}{3\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1)^T

\mathbf{u}_2 = A\mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,\,1)^T

U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \Sigma = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

第 4 步（验证）： $U\Sigma V^T = A$ ，且 $U^TU = V^TV = I$ 。

注：若 $A$ 本身已是对角阵（如 $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ ），可直接取 $\sigma_i = |a_{ii}|$ ， $U = V = I$ （负对角元对应 $V$ 中符号调整），无需完整计算 $A^TA$ 。

小结（§9）：分解是连接理论与算法的桥梁。SVD 的奇异值也用于定义矩阵范数与 条件数。

§10 范数与条件数

10.1 矩阵范数

Frobenius 范数（最直观，对应元素平方和）：

\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i,j} a_{ij}^2}

谱范数（2-范数）： $\|A\|_2 = \sigma_{\max}(A)$ ，即最大奇异值。

10.2 条件数

\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|

条件数衡量 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 对数据扰动的敏感程度： $\kappa$ 越大，数值求解越病态（不稳定）。

10.3 例

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

Frobenius 范数：

\|A\|_F = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{30} \approx 5.48

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$ ， $\|A^{-1}\|_F = \sqrt{4 + 1 + 2.25 + 0.25} = \sqrt{7.5} \approx 2.74$ 。

条件数（Frobenius 范数）： $\kappa_F(A) \approx 5.48 \times 2.74 \approx 15$ ，属中等敏感。

对比 Hilbert 矩阵 $H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.333 \end{pmatrix}$ ， $\kappa(H_2) \approx 27$ ，病态程度更高。

§11 典型应用

将前述工具与实际问题对应：

领域	用到的核心概念	示例
线性方程组	逆矩阵、LU 分解、秩	$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的求解与解的结构
线性变换	矩阵乘法、正交矩阵	旋转、投影等几何变换
主成分分析 (PCA)	对称矩阵、特征值分解	协方差矩阵的特征向量即主成分方向
图论	邻接矩阵、对角矩阵	拉普拉斯矩阵 $L = D - A$
量子力学	Hermite 矩阵、特征值	可观测量（厄米特算符）的本征值
机器学习	伪逆、矩阵乘法	线性回归 $\boldsymbol{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T \mathbf{y}$

11.1 例

线性方程组： $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ，解为 $\mathbf{x} = (1, -1)^T$ 。

线性变换：旋转矩阵 $R_{90°} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 将 $(1, 0)^T$ 映为 $(0, 1)^T$ 。

PCA：数据协方差矩阵 $\Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值为 $3, 1$ ，最大特征值对应方向 $(1, 1)^T$ 为第一主成分。

图论：三角形图的邻接矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，度矩阵 $D = \text{diag}(2,2,2)$ ，拉普拉斯矩阵 $L = D - A$ 。

机器学习：线性回归 $\hat{\mathbf{y}} = X\boldsymbol{\beta}$ ，正规方程 $\boldsymbol{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T \mathbf{y}$ 即矩阵求逆的应用。

附录：记号一览

本文及矩阵论中常用的记号汇总如下，按主题分类，便于查阅。

A. 矩阵、元素与维数

记号	含义
$A, B, C, \ldots$	矩阵（大写字母）
$a_{ij}$ 或 $(A)_{ij}$	矩阵 $A$ 第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素
$c_{ij}$	乘积矩阵 $C = AB$ 的第 $(i,j)$ 元
$m \times n$	矩阵的阶（ $m$ 行 $n$ 列）
$n$ 阶方阵	行数与列数均为 $n$ 的方阵
$\mathbb{R}^{m \times n}$	所有 $m \times n$ 实矩阵的集合
$\mathbb{C}^{m \times n}$	所有 $m \times n$ 复矩阵的集合

B. 向量

记号	含义
$\mathbf{x}, \mathbf{v}, \mathbf{b}, \mathbf{y}$	列向量（粗体小写字母）
$\mathbf{x}^T$	行向量（列向量的转置）
$\mathbf{0}$	零向量
$(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$	$n$ 维列向量的分量表示

C. 特殊矩阵

记号	含义
$I_n$ 或 $I$	$n$ 阶单位矩阵（主对角线为 1，其余为 0）
$O$ 或 $\mathbf{0}$	零矩阵（所有元素为 0）
$\text{diag}(d_1,\ldots,d_n)$	以 $d_1,\ldots,d_n$ 为主对角元的对角矩阵
$\Lambda$	对角矩阵的常用记法之一

D. 基本运算

记号	含义
$A + B$	矩阵加法（同阶矩阵，对应元素相加）
$\lambda A$ 或 $kA$	数乘（每个元素乘以标量 $\lambda$ 或 $k$ ）
$AB$	矩阵乘法（ $A$ 为 $m \times n$ ， $B$ 为 $n \times p$ ）
$A^T$	转置（行列互换）
$A^k$	$A$ 的 $k$ 次幂（ $k$ 次自乘， $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ ）
$A^{-1}$	逆矩阵（若存在；满足 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ ）
$A^{\dagger}$ 或 $A^+$	Moore–Penrose 伪逆（广义逆）

E. 行列式、秩与迹

记号	含义
$\det(A)$ 、 $\\|A\\|$ 或 $	A
$\text{rank}(A)$	秩（列向量组或行向量组的极大线性无关组大小）
$\text{tr}(A)$	迹（主对角元之和）

F. 子空间与线性方程组

记号	含义
$\ker(A)$ 、 $\text{null}(A)$	核（零空间）：满足 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的所有 $\mathbf{x}$
$\text{im}(A)$ 、 $\text{col}(A)$	像（列空间）
$\text{row}(A)$	行空间
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$	线性方程组
$[A \mid \mathbf{b}]$	增广矩阵（将列向量 $\mathbf{b}$ 拼在 $A$ 右侧）

G. 结构特殊的矩阵

记号	含义
$A^T = A$	对称矩阵
$A^T = -A$	反对称矩阵
$A^T A = I$	正交矩阵
$A^* = A$	Hermite 矩阵（厄米特矩阵）
$A^* = -A$	反 Hermite 矩阵
$A^* A = I$	酉矩阵（Unitary）
$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$ （ $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ ）	正定矩阵（ $A$ 对称时）

H. 复数与共轭

记号	含义
$i$	虚数单位， $i^2 = -1$
$z = a + bi$	复数（ $a$ 为实部， $b$ 为虚部）
$\bar{z}$ 或 $z^*$	复数 $z$ 的共轭
$\\|z\\|$	复数 $z$ 的模（长度）
$\bar{A}$	矩阵共轭（逐元素取共轭）
$A^*$ 或 $A^H$	共轭转置（ $A^* = (\bar{A})^T$ ）

I. 特征值与相似

记号	含义
$\lambda$ 、 $\lambda_i$	特征值
$\mathbf{v}$ 、 $\mathbf{v}_i$	特征向量
$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$	特征值–特征向量关系
$\det(A - \lambda I) = 0$	特征方程
$A \sim B$	$A$ 与 $B$ 相似（存在可逆 $P$ 使 $B = P^{-1}AP$ ）
$A = PDP^{-1}$	特征值分解（ $D$ 对角， $P$ 可逆）

J. 矩阵分解

记号	含义
$A = LU$	LU 分解（ $L$ 下三角， $U$ 上三角）
$A = LL^T$	Cholesky 分解（ $L$ 下三角； $A$ 对称正定）
$A = QR$	QR 分解（ $Q$ 正交， $R$ 上三角）
$A = FG$	满秩分解（ $F$ 为 $m \times r$ 列满秩， $G$ 为 $r \times n$ 行满秩， $r = \text{rank}(A)$ ）
$A = U\Sigma V^T$	奇异值分解（SVD）
$\sigma_i$ 、 $\sigma_{\max}$	奇异值（SVD 中对角元， $\sigma_i \geq 0$ ）
$L, U, Q, R, F, G, P, D, \Sigma$	各分解中的因子矩阵（见上）

K. 范数与条件数

记号	含义
$\\|A\\|_F$	Frobenius 范数： $\sqrt{\sum_{i,j} a_{ij}^2}$
$\\|A\\|_2$	谱范数（2-范数），等于最大奇异值 $\sigma_{\max}(A)$
$\kappa(A)$	条件数： $\\|A\\| \cdot \\|A^{-1}\\|$
$\kappa_F(A)$	以 Frobenius 范数定义的条件数

L. 应用与其他常用符号

记号	含义
$R$ 、 $R_\theta$	旋转矩阵（正交矩阵之一）
$\theta$	旋转角
$\Sigma$	协方差矩阵（如 PCA 中）
$D$	度矩阵（图论中，对角元为顶点度数）
$L = D - A$	拉普拉斯矩阵（ $A$ 为邻接矩阵）
$X$	设计矩阵 / 数据矩阵（统计、机器学习中）
$\boldsymbol{\beta}$	回归系数向量
$\hat{\mathbf{y}}$	预测值向量
$\sum_{k=1}^{n}$	求和（如矩阵乘法中的指标求和）
$\Leftrightarrow$ 、 $\Rightarrow$	等价、推出（逻辑关系）
$\min(m,n)$	$m$ 与 $n$ 中的较小者
$\mathbb{R}$ 、 $\mathbb{C}$	实数集、复数集
$\mathbb{Z}_{\geq 0}$	非负整数集

参考资料

张贤达，《矩阵分析与应用》
Roger A. Horn & Charles R. Johnson, Matrix Analysis
Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra
丘维声，《高等代数》