积分基础知识

单变量函数的积分学是数学分析的核心内容之一，源于求曲边梯形面积、变速运动路程等实际问题。本文参考中国科学技术大学数学分析讲义 §5.1，按 由浅入深、循序渐进 的方式梳理 Riemann 定积分的基础知识：从定义与可积性出发，经基本性质与微积分基本定理，到换元、分部积分等计算方法，并附常用公式与典型技巧。

导读：学习路径

阶段	章节	核心内容	目标
入门	§1–§2	几何背景、Riemann 和、可积函数类	理解积分定义，判断函数是否可积
性质	§3–§4	线性性、区间可加、保序、估值、中值定理	比较、估计积分，不直接计算
核心定理	§5	变上限积分、原函数、Newton–Leibniz 公式	把积分与导数联系起来
计算	§6–§8	换元、分部积分、对称性、递推、Riemann 和极限	会算常见积分
拓展	§9	非初等积分、用积分定义新函数	了解积分的理论边界

建议：先掌握 Newton–Leibniz 公式（§5），再系统练习换元与分部积分（§6）。对称区间上的奇偶性、区间再现等技巧（§7）可大幅减少计算量。

§1 积分的定义

1.1 几何背景：曲边梯形的面积

设 $y=f(x)\geqslant 0$ 在 $[a,b]$ 上连续。将区间 $[a,b]$ 分割为

a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,

每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上，用矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$ （ $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ ）近似"小长条"面积。把所有矩形面积相加得 Riemann 和

S_n=\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i.

当分割越来越细时，若 $S_n$ 的极限存在且与分割方式、取样点 $\xi_i$ 无关，该极限即为曲边梯形的面积。

类似地，变速直线运动在 $[\alpha,\beta]$ 上的路程也可通过"分段匀速近似、再取极限"得到。

术语： $f(x)$ 为被积函数； $a$ 为积分下限， $b$ 为积分上限； $f(x)\,\mathrm{d}x$ 为被积表达式； $x$ 为积分变量。

$\varepsilon$ – $\delta$ 表述： $\forall\,\varepsilon>0$ ， $\exists\,\delta>0$ ，只要 $\|T\|<\delta$ ，无论 $\xi_i$ 如何取，都有 $\bigl|\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i - I\bigr|<\varepsilon$ 。

注意：定义中有两个"任意"——分割的任意性、取样点 $\xi_i$ 的任意性。积分值与积分变量名称无关：

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u=\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.

§2 可积函数类

经典反例：Dirichlet 函数（有界但不可积）

D(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\[4pt]0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}

在 $[a,b]$ 上任一分割，每个小区间上 $D$ 同时取到 0 和 1，Riemann 和极限不存在。

例（改变单点函数值不影响积分）：设 $a<c<b$ ，

J(x)=\begin{cases}0,&x\in[a,b],\;x\neq c\\[4pt]1,&x=c\end{cases}

则 $\displaystyle\int_a^b J(x)\,\mathrm{d}x=0$ 。有限个点上的函数值变化不影响 Riemann 积分。

§3 积分的基本性质

3.1 区间约定与可加性

为方便，约定：

\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0;\qquad \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x\quad(a>b).

在此约定下，对可积的 $f$ 及任意 $a,b,c$ ，恒有

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x.

3.2 线性性

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积， $\alpha,\beta$ 为常数，则 $\alpha f+\beta g$ 可积，且

\int_a^b\bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x=\alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.

进一步， $f\cdot g$ 也在 $[a,b]$ 上可积。

3.3 保序性与估值

条件	结论
$f(x)\geqslant 0$ ， $\forall x\in[a,b]$	$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\geqslant 0$
$f(x)\geqslant g(x)$ ， $\forall x\in[a,b]$	$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\geqslant\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$
$f$ 连续， $f\geqslant 0$ 且 $f\not\equiv 0$	$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x>0$
$m\leqslant f(x)\leqslant M$	$m(b-a)\leqslant\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant M(b-a)$

例（比较大小）：在 $[0,\tfrac{\pi}{2}]$ 上， $0\leqslant\sin x\leqslant 1$ ，故 $\sin^{10}x\leqslant\sin^2 x$ ，从而

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}x\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\,\mathrm{d}x.

例（估值）：在 $[0,1]$ 上， $0\leqslant x^9\leqslant 1$ 且 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\leqslant 1$ ，故

0\leqslant\int_0^1\frac{x^9}{\sqrt{1+x}}\,\mathrm{d}x\leqslant 1.

§4 积分中值定理

应用：估计含参积分极限。例如 $p>0$ 时，由第一中值定理，

\lim_{n\to+\infty}\int_n^{n+p}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x=\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin\xi_n}{\xi_n}\cdot p=0\quad(\xi_n\in(n,n+p)).

§5 微积分基本定理

5.1 变上限积分

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。对 $x\in[a,b]$ ，定义

\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

为 $f$ 的变上限积分（积分上限函数）。

条件	结论
$f$ 在 $[a,b]$ 上可积	$\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
$f$ 在 $x_0$ 处连续	$\Phi(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $\Phi'(x_0)=f(x_0)$
$f$ 在 $[a,b]$ 上连续	$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t=f(x)$

5.2 原函数与 Newton–Leibniz 公式

注意：可积与原函数存在性并不等价。

原函数存在，导函数未必可积： $F(x)=x^2\sin(1/x^2)$ （ $x\neq 0$ ）， $F(0)=0$ ，则 $F$ 可导，但 $F'$ 在 $[-1,1]$ 上无界，不可积。
函数可积，原函数未必存在： $f(x)=\mathrm{sgn}(x)$ 在 $[-1,2]$ 上可积，但无原函数（否则与 Darboux 定理矛盾）。

5.3 变限求导公式

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续， $u(x),v(x)$ 在 $(\alpha,\beta)$ 上可导且取值于 $[a,b]$ ，则

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)\,\mathrm{d}t=f(u(x))u'(x)-f(v(x))v'(x).

例：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x\frac{1-t+t^2}{1+t+t^2}\,\mathrm{d}t=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)\,\mathrm{d}t=\cos(\pi\cos^2 x)(-\sin x)-\cos(\pi\sin^2 x)\cos x.

§6 积分的计算方法

6.1 Newton–Leibniz 公式（直接法）

先求原函数，再代入上下限。基本初等函数的原函数见附录 A。

例：

\int_0^1(1-2t+t^2)\,\mathrm{d}t=\left[t-t^2+\frac{t^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}.

\int_1^2\ln x\,\mathrm{d}x=\left[x\ln x-x\right]_1^2=2\ln 2-1.

6.2 换元积分法

不定积分换元示例：

\int\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x=\int\ln x\,\mathrm{d}(\ln x)\xrightarrow{t=\ln x}\int t\,\mathrm{d}t=\frac{(\ln x)^2}{2}+C.

定积分换元示例：

\int_1^2\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x\xrightarrow{t=\ln x}\int_0^{\ln 2}t\,\mathrm{d}t=\frac{(\ln 2)^2}{2}.

换元陷阱： $\displaystyle\int_{-1}^1 x^2\,\mathrm{d}x$ 若令 $t=x^2$ ，则 $t\in[0,1]$ 但上下限均变为 1，得 0——违反定理条件。正确做法：拆分为 $\int_{-1}^0+\int_0^1$ ，或在 $[-1,0]$ 、 $[0,1]$ 上分别换元。

经典换元： $\displaystyle\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x\xrightarrow{x=a\sin t}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}a^2\cos^2 t\,\mathrm{d}t=\frac{\pi a^2}{2}$ （半圆面积）。

6.3 分部积分法

例：

\int_0^{\sqrt{3}}x\arctan x\,\mathrm{d}x=\left.\frac{x^2}{2}\arctan x\right|_0^{\sqrt{3}} -\int_0^{\sqrt{3}}\frac{x^2}{2(1+x^2)}\,\mathrm{d}x.

口诀： $u$ 优先选对数、反三角、多项式； $\mathrm{d}v$ 优先选指数、三角、微分形式简单的部分。

6.4 区间再现公式

设 $f$ 在 $[0,a]$ 上连续，则

\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^a f(a-x)\,\mathrm{d}x.

令 $x=a-x$ 即可。特别地，对连续 $f$ ：

\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)\,\mathrm{d}x.

§7 对称性与特殊技巧

7.1 奇偶函数

设 $f$ 在 $[-l,l]$ 上连续：

类型	公式
奇函数 $f(-x)=-f(x)$	$\displaystyle\int_{-l}^{l}f(x)\,\mathrm{d}x=0$
偶函数 $f(-x)=f(x)$	$\displaystyle\int_{-l}^{l}f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^{l}f(x)\,\mathrm{d}x$

7.2 区间中心对称

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，中点 $c=\dfrac{a+b}{2}$ ：

若 $f(a+b-x)=-f(x)$ （关于 $c$ 奇对称），则 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=0$ ；
若 $f(a+b-x)=f(x)$ （关于 $c$ 偶对称），则 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_a^{c}f(x)\,\mathrm{d}x$ 。

技巧：对 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ 令 $t=a+b-x$ ，检验 $f$ 是否具有上述对称性。

7.3 周期函数

设 $f$ 以 $T$ 为周期的连续函数，则对任意 $\alpha$ ：

\int_\alpha^{\alpha+T}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^{T}f(x)\,\mathrm{d}x.

7.4 乘积对称公式

设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续， $f(a+b-x)=f(x)$ ， $g(a+b-x)+g(x)=A$ （常数），则

\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=\frac{A}{2}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

经典推论（ $f$ 在 $[0,1]$ 上连续）：

\int_0^{\pi}x f(\sin x)\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)\,\mathrm{d}x.

7.5 倒数对称（ $x\leftrightarrow 1/x$ ）

设 $a>1$ ， $f,g$ 在 $[\tfrac{1}{a},a]$ 上连续， $f(x)=f(1/x)$ ， $g(x)+g(1/x)=A$ ，则

\int_{1/a}^{a}\frac{f(x)g(x)}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{A}{2}\int_{1/a}^{a}\frac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x =A\int_1^{a}\frac{f(x)}{x}\,\mathrm{d}x.

7.6 递推公式

Wallis 型（ $m\in\mathbb{N}$ ）：

I_m=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^m x\,\mathrm{d}x=\begin{cases} \dfrac{(m-1)!!}{m!!}\cdot\dfrac{\pi}{2},&m\text{ 为偶数}\\[8pt] \dfrac{(m-1)!!}{m!!},&m\text{ 为奇数} \end{cases}

递推关系： $I_m=\dfrac{m-1}{m}I_{m-2}$ 。

§8 Riemann 和求极限

许多数列极限可改写为定积分。核心思路：将 $\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$ 识别为某函数在 $[a,b]$ 上的 Riemann 和。

例：

\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n\sqrt{n^2+i^2}}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i/n}{n\sqrt{1+(i/n)^2}} =\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x =\left.\sqrt{1+x^2}\right|_0^1=\sqrt{2}-1.

\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{\ln(1+i/n)}{n+i}\approx\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x}\,\mathrm{d}x =\int_0^1\ln(1+x)\,\mathrm{d}(\ln(1+x)) =\frac{(\ln 2)^2}{2}.

（具体题目需根据通项精确识别 $f$ 与区间。）

§9 用积分定义函数

不少初等函数的积分不能用初等函数表示，如

\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x,\quad\int\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x,\quad \int\frac{1}{\ln x}\,\mathrm{d}x,\quad \int\sin(x^2)\,\mathrm{d}x.

此时可用积分定义新函数，并研究其性质。

例：用积分定义 $\ln x$

定义 $f(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t$ ， $x>0$ 。由微积分基本定理， $f'(x)=1/x$ ； $f(1)=0$ 。对 $x,y>0$ ，换元可证

f(xy)=f(x)+f(y),

进而得到 $f(x^n)=nf(x)$ 、 $f(1/x)=-f(x)$ 等性质，可将 $f$ 记为 $\ln x$ 。

椭圆积分（不能用初等函数表示）：

u(s)=\int_0^s\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,\mathrm{d}x

其中 $k$ 为参数，在力学与几何中有重要应用。

§10 Taylor 余项的积分表示

设 $f$ 在区间上有直到 $n+1$ 阶连续导数，则带积分余项的 Taylor 公式为

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\,\mathrm{d}t.

由积分中值定理可进一步得到 Cauchy 余项：

R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-a)(x-\xi)^n,\quad \xi\in(a,x).

令 $h=x-a$ ， $\xi=a+\theta h$ （ $\theta\in(0,1)$ ），则

R_n=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{n!}h^{n+1}(1-\theta)^n.

附录 A 常用积分公式

A.1 幂函数与基本初等函数

积分	结果（ $+C$ ）	条件
$\displaystyle\int x^\mu\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1}$	$\mu\neq -1$
$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$	$\ln\\|x\\|$	$x\neq 0$
$\displaystyle\int e^x\,\mathrm{d}x$	$e^x$
$\displaystyle\int a^x\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{a^x}{\ln a}$	$a>0$ ， $a\neq 1$
$\displaystyle\int\sin x\,\mathrm{d}x$	$-\cos x$
$\displaystyle\int\cos x\,\mathrm{d}x$	$\sin x$
$\displaystyle\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x$	$\tan x$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$	$\arctan x$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x$	$\arcsin x$	$\\|x\\|<1$

A.2 常用定积分

积分	结果
$\displaystyle\int_0^a x^k\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{a^{k+1}}{k+1}$ ， $k\neq -1$
$\displaystyle\int_a^b x^\mu\,\mathrm{d}x$	$\dfrac{b^{\mu+1}-a^{\mu+1}}{\mu+1}$ ， $\mu\neq -1$ ， $b>a>0$
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^m x\,\mathrm{d}x$	见 §7.6 Wallis 公式
$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$	$\sqrt{\pi}$

A.3 与线性代数/内积的联系

在多项式空间 $P_n(t)$ 上，区间积分内积

(f,g)=\int_a^b f(t)g(t)\,\mathrm{d}t

是定义范数 $\|f\|=\sqrt{(f,f)}$ 的自然方式。例如

\|1-t\|_{[0,1]}=\sqrt{\int_0^1(1-t)^2\,\mathrm{d}t}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

附录 B 记号一览

记号	含义
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$	$f$ 在 $[a,b]$ 上的 Riemann 定积分
$\\|T\\|$	分割 $T$ 的模（最大子区间长度）
$S_n(T)$	对应分割 $T$ 的 Riemann 和
$\Phi(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$	变上限积分
$\left.F(x)\right	_a^b$
$f\in R[a,b]$	$f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积
$C[a,b]$	$[a,b]$ 上连续函数全体

参考文献

中国科学技术大学数学分析课程讲义：§5.1 积分
华东师范大学数学系：《数学分析》（第四版）上册，第五章

文档版本：2026-07 · 对应 USTC 数学分析 chap5_1 单变量定积分基础