模拟2 解答

第1题（10分）

设 $P_2(t)$ 为次数 $⩽2$ 的多项式全体构成的线性空间。对任意 $f(t),g(t)\in P_2(t)$，定义内积

（1）求多项式 $1-t$ 的长度

解：

多项式 $1-t$ 的长度即其在上述内积下的范数：

（2）记 $W=\mathrm{span}\{1-t\}$，求 $W^{\perp }$

解：

$W^{\perp }=\{p(t)\in P_2(t)\mid (p(t),1-t)=0\}$。设 $p(t)=a+bt+c{t}^2$，则

即 $6a+2b+c=0$。该方程有 $2$ 个自由未知量，故 $\dim W^{\perp }=2$。

取两组无关整数解：

• $a=1,b=0,c=-6$ $\Rightarrow$ $p_1(t)=1-6t^2$；
• $a=0,b=1,c=-2$ $\Rightarrow$ $p_2(t)=t-2t^2$。

可验证 $(p_1,1-t)=0$，$(p_2,1-t)=0$，且 $p_1,p_2$ 线性无关。

第2题（10分）

在线性空间 ${\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 中有下列 $5$ 个向量：

令 $V=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$，$W=\mathrm{span}\{{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\}$。

（1）证明：${\alpha }_2\in W$

解：

将 $2\times 2$ 矩阵按列展开为 ${\mathbb{R}}^4$ 中的向量。设

等价于线性方程组（按列优先向量化）：

对增广矩阵作行化简，得

有解。取特解 $x_1=\frac{5}{4}$，$x_2=\frac{7}{4}$，$x_3=-\frac{5}{2}$，则

验算：

故 ${\alpha }_2\in W$。

（2）判别 $V+W$ 是否是直和，并说明理由

解：

$V+W$ 为直和当且仅当 $V\cap W=\{0\}$（等价地，$V+W$ 中每个向量分解 $v+w$ 唯一）。

由（1），${\alpha }_2\in W$；又 ${\alpha }_2\in V=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$，故 ${\alpha }_2\ne 0$ 且 ${\alpha }_2\in V\cap W$。

因此 $V\cap W\ne \{0\}$，$V+W\text{不是直和}$。

第3题（10分）

已知 $4\times 5$ 矩阵

经初等行变换，得行阶梯形

（1）求 $A$ 的满秩分解和 $A^{+}$

解：

由行阶梯形，主元在第 $1$、$3$ 列，故 $\mathrm{rank}(A)=2$。

继续化为行最简形：

读出列向量关系（记 $c_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列）：

取两个线性无关列作 $F$，系数矩阵作 $G$，得满秩分解 $A=FG$（$F\in {\mathbb{R}}^{4\times 2}$，$G\in {\mathbb{R}}^{2\times 5}$）：

验证：$FG=A$。

由满秩分解 $A=FG$，Moore–Penrose 广义逆为

先算

代入计算，得

（2）求 $Ax=b$ 的极小范数最小二乘解，其中 $b=(1,1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$

解：

因 $\mathrm{rank}(A)=2<4$，而 $b\in {\mathbb{R}}^4$，方程组一般不相容。极小范数最小二乘解为

计算：

此时 $Ax=A{A}^{+}b$，为 $b$ 在 $\mathcal{R}(A)$ 上的正交投影。

（3）写出 $A^{+}A$ 的 Smith 标准型

解：

先算

$A^{+}A$ 为对称幂等阵，$\mathrm{rank}(A^{+}A)=2$，特征值为 $1,1,0,0,0$。

在域 $\mathbb{R}$ 上：秩为 $2$，Smith 标准型为

在 $\mathbb{Z}$ 上：$A^{+}A$ 含分母，先同乘 $16$ 化为整数矩阵

$\mathrm{rank}(B)=2$。对 $B$ 施以初等行、列变换（只做整数加减与换行换列），化为对角形：

第 1 步：将最小非零元 $1$ 换至 $(1,1)$ 位——$R_1\leftrightarrow R_3$：

第 2 步：以 $a_{11}=1$ 为 pivot，消去第 $1$ 列其余元素：

再作列变换 $C_2\leftarrow C_2-C_1$，$C_4\leftarrow C_4-C_1$，$C_5\leftarrow C_5-6C_1$，得

第 3 步：在右下角子块中取最小元 $8$，$R_2\leftarrow -R_2$，再 $R_4\leftarrow R_4+2R_2$ 消去，得第二 pivot $8$；继续列倍加消去同行其余元，并删去零行零列。

第 4 步：整理得

对角元 $d_1=1,d_2=8$，满足 $1\mid 8$，即为 $B$（亦即 $16\cdot A^{+}A$）在 $\mathbb{Z}$ 上的 Smith 标准型。

（4）求 $\Vert e^{A^{+}A}{\Vert }_F$

解：

$A^{+}A$ 为对称幂等阵（投影阵），特征值为 $1,1,0,0,0$。

矩阵指数与特征值同步：$e^{A^{+}A}$ 的特征值为 $e,e,1,1,1$。

$A^{+}A$ 为正规阵（对称），Frobenius 范数等于特征值模长平方和的开方：

（亦可利用幂等性：$e^{A^{+}A}=I+(e-1)A^{+}A$，直接按定义求 Frobenius 范数，结果相同。）

第4题（10分）

已知

（1）求 $A$ 的 $LU$ 分解（$L$ 为单位下三角阵，$U$ 为上三角阵）

解：

用 Doolittle 方法，主元存入 $U$，乘数 $l_{ik}=a_{ik}^{(k)}/a_{kk}^{(k)}$ 存入 $L$。

消第 1 列（$u_{11}=2$）：

更新后第 $2$ 列主元 $u_{22}=4$。

消第 2 列（$u_{22}=4$）：

更新后第 $3$ 列主元 $u_{33}=4$。

消第 3 列：

得

验算：$LU=A$。

（2）利用 $LU$ 分解解 $Ax=b$

解：

令 $Ly=b$（前代），再令 $Ux=y$（回代）。

前代 $Ly=b$：

回代 $Ux=y$：

验算 $Ax=b$ 成立。