模拟1 解答

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模拟1 解答

第1题（10分）

已知 4\times 5 矩阵

A=\begin{pmatrix}1&2&1&4&-2\\-1&-2&-1&-2&0\\2&4&2&12&-8\\1&2&1&6&-4\end{pmatrix}

经初等行变换，得行阶梯形

\begin{pmatrix}1&2&1&4&-2\\0&0&0&2&-2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}

（1）求 A 的满秩分解和 A^+

解：

由行阶梯形，主元在第 1、4 列，故 \mathrm{rank}(A)=2。

继续化为行最简形：

\begin{pmatrix}1&2&1&0&2\\0&0&0&1&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}

读出列向量关系（记 c_i 为 A 的第 i 列）：c_2=2c_1,\quad c_3=c_1,\quad c_5=2c_1-c_4。

取两个线性无关列作 F，系数矩阵作 G，得满秩分解 A=FG（F\in\mathbb{R}^{4\times 2}，G\in\mathbb{R}^{2\times 5}）：

F=\begin{pmatrix}1&4\\-1&-2\\2&12\\1&6\end{pmatrix},\qquad G=\begin{pmatrix}1&2&1&0&2\\0&0&0&1&-1\end{pmatrix}

验证：FG=A。

由满秩分解 A=FG，可知 A^+=G^{\mathrm T}(GG^{\mathrm T})^{-1}(F^{\mathrm T}F)^{-1}F^{\mathrm T}。

先算 GG^{\mathrm T}。G 为 2\times 5，故 GG^{\mathrm T} 为 2\times 2，其 (i,j) 元为 G 的第 i 行与第 j 行的内积：

\begin{aligned} (GG^{\mathrm T})_{11}&=1^2+2^2+1^2+0^2+2^2=10,\\ (GG^{\mathrm T})_{12}&=(GG^{\mathrm T})_{21}=1\cdot 0+2\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 1+2\cdot(-1)=-2,\\ (GG^{\mathrm T})_{22}&=0^2+0^2+0^2+1^2+(-1)^2=2, \end{aligned}

得

GG^{\mathrm T}=\begin{pmatrix}10&-2\\-2&2\end{pmatrix}

求逆：\det(GG^{\mathrm T})=10\times 2-(-2)^2=16，故

(GG^{\mathrm T})^{-1}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}2&2\\2&10\end{pmatrix}

又

F^{\mathrm T}F=\begin{pmatrix}7&36\\36&200\end{pmatrix},\quad (F^{\mathrm T}F)^{-1}=\frac{1}{104}\begin{pmatrix}200&-36\\-36&7\end{pmatrix}

代入计算，得

A^+=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{52}&\dfrac{-53}{416}&\dfrac{-5}{208}&\dfrac{-5}{416}\\[6pt] \dfrac{3}{26}&\dfrac{-53}{208}&\dfrac{-5}{104}&\dfrac{-5}{208}\\[6pt] \dfrac{3}{52}&\dfrac{-53}{416}&\dfrac{-5}{208}&\dfrac{-5}{416}\\[6pt] \dfrac{1}{52}&\dfrac{-9}{416}&\dfrac{7}{208}&\dfrac{7}{416}\\[6pt] \dfrac{5}{52}&\dfrac{-97}{416}&\dfrac{-17}{208}&\dfrac{-17}{416} \end{pmatrix}

（2）求 Ax=b 的极小范数最小二乘解，其中 b=(1,-1,1,-1)^{\mathrm T}

解：

因 \mathrm{rank}(A)=2<4，而 b\in\mathbb{R}^4，方程组不相容。极小范数最小二乘解为：

x=A^+b

计算：x=\left(\dfrac{9}{52},\dfrac{9}{26},\dfrac{9}{52},\dfrac{3}{52},\dfrac{15}{52}\right)^{\mathrm T}

此时 Ax=AA^+b，为 b 在 \mathcal{R}(A) 上的正交投影。

【定义】方程组不相容
线性方程组 Ax=b 称为不相容（或无解），若不存在 x 使等式成立，即 b\notin\mathcal{R}(A)。等价地，增广矩阵的秩严格变大：\mathrm{rank}([A\mid b])>\mathrm{rank}(A)。本题 \mathrm{rank}(A)=2，可验证 \mathrm{rank}([A\mid b])=3，故不相容。
【定义】极小范数最小二乘解
当 Ax=b 不相容时，称 x 为最小二乘解，若它使残差 \|Ax-b\|_2 最小。最小二乘解通常不唯一；其中欧氏范数 \|x\|_2 最小者，称为极小范数最小二乘解，记为 x=A^+b（A^+ 为 Moore–Penrose 广义逆）。
【定义】正交投影
设 W=\mathcal{R}(A)\subseteq\mathbb{R}^m。向量 b\in\mathbb{R}^m 在 W 上的正交投影 p 满足：p\in W，且 b-p\perp W（即 b-p 与 W 中每个向量正交）。记作 p=P_W b。对列空间投影，P_W=AA^+，故本题 p=AA^+b=Ax，即为 b 在 \mathcal{R}(A) 上的正交投影；它使 \|b-p\|_2 达到最小。

（3）写出 AA^+ 的 Smith 标准型

解：

先算

AA^+=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{13}&-\dfrac{5}{13}&\dfrac{2}{13}&\dfrac{1}{13}\\[6pt] -\dfrac{5}{13}&\dfrac{21}{26}&\dfrac{1}{13}&\dfrac{1}{26}\\[6pt] \dfrac{2}{13}&\dfrac{1}{13}&\dfrac{10}{13}&\dfrac{5}{13}\\[6pt] \dfrac{1}{13}&\dfrac{1}{26}&\dfrac{5}{13}&\dfrac{5}{26} \end{pmatrix}

AA^+ 为对称幂等阵，\mathrm{rank}(AA^+)=2，特征值为 1,1,0,0。

在域 \mathbb{R} 上：秩为 2，Smith 标准型为

\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

在 \mathbb{Z} 上：AA^+ 含分母，先同乘 52 化为整数矩阵

B=52\cdot AA^+=\begin{pmatrix}12&-20&8&4\\-20&42&4&2\\8&4&40&20\\4&2&20&10\end{pmatrix}

\mathrm{rank}(B)=2。对 B 施以 初等行、列变换（只做整数加减与换行换列），化为对角形：

第 1 步：将最小非零元 2 移到 (1,1) 位——R_1\leftrightarrow R_2，C_1\leftrightarrow C_4：

B\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2,\;C_1\leftrightarrow C_4} \begin{pmatrix}2&42&4&-20\\4&-20&8&12\\20&4&40&8\\10&2&20&4\end{pmatrix}

第 2 步：以 a_{11}=2 为 pivot，消去其余第 1 行、第 1 列元素：

R_2\leftarrow R_2-2R_1,\;R_3\leftarrow R_3-10R_1,\;R_4\leftarrow R_4-5R_1
C_2\leftarrow C_2-21C_1,\;C_3\leftarrow C_3-2C_1,\;C_4\leftarrow C_4+10C_1

得

\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&-104&0&52\\0&-416&0&208\\0&-208&0&104\end{pmatrix}

第 3 步：消去第 3、4 行（它们由第 2 行线性表出）：

R_3\leftarrow R_3-4R_2,\;R_4\leftarrow R_4-2R_2 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&-104&0&52\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

第 4 步：处理右下角子块。注意到第 2 行中 -104=(-2)\times52，故 C_2\leftrightarrow C_4：

\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&52&0&-104\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

第 5 步：C_4\leftarrow C_4+2C_2，消去 a_{24}=-104：

\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&52&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

对角元 d_1=2,\;d_2=52，满足 2\mid 52，即为 B（亦即 52\cdot AA^+）在 \mathbb{Z} 上的 Smith 标准型。

【定义】Smith 标准型（入门版）
是什么？ 对矩阵 A，允许做初等行变换和初等列变换（行、列可同时换），把它化成对角矩阵 S。这个 S 就叫 A 的 Smith 标准型。它与 Gauss 消元不同：消元一般只做行变换；Smith 型两边都能变。
\mathrm{diag}(\cdots) 是什么？ 表示对角矩阵：主对角线上依次写 d_1,d_2,\ldots，其余位置全是 0。例如 \mathrm{diag}(2,52,0,0)=\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&52&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}。
d_i\mid d_{i+1} 是什么？ 读作"d_i 整除 d_{i+1}"，意思是 d_{i+1} 能被 d_i 除尽（商仍是整数）。本题 2\mid 52，因为 52=2\times 26。
在哪些数里讨论？ 系数不能是任意实数，而要在整数 \mathbb{Z} 等"只能做整数运算"的集合里讨论（这类集合统称环；\mathbb{Z} 是其中最重要的一种，叫主理想整环——考试知道 \mathbb{Z} 即可）。在 \mathbb{R} 上任意非零数都能当除数，Smith 型退化为 \mathrm{diag}(\underbrace{1,\ldots,1}_{r},0,\ldots,0)，r=\mathrm{rank}(A)，只剩秩的信息。
【方法】Smith 标准型的计算步骤
在 \mathbb{R} 上：求秩 r 即可，结果为 \mathrm{diag}(I_r,O)。
在 \mathbb{Z} 上：① 若矩阵含分数，先同乘整数化为整数阵；② 反复施行初等行、列变换化为对角形，步骤为：
（a）在剩余子块中找最小非零元，换至当前 pivot 位 (i,i)；
（b）用整数倍加减消去 pivot 所在行、列的其余元素；
（c）对右下角子块重复，直至化为 \mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_r,0,\ldots,0)。
注意：Smith 标准型用的是初等变换（行、列均可），不是相似变换；允许 R_i\leftrightarrow R_j、C_j\leftrightarrow C_k、R_i\leftarrow R_i+kR_j、C_j\leftarrow C_j+kC_k（k\in\mathbb{Z}）。
【性质】对称幂等阵 · 秩与特征值
矩阵 P 称为对称幂等阵（投影阵），若 P^{\mathrm T}=P 且 P^2=P。此时 AA^+ 即为到 \mathcal{R}(A) 的正交投影。
秩：\mathrm{rank}(P)=\mathrm{tr}(P)（非零特征值个数）；本题 \mathrm{rank}(AA^+)=2=\mathrm{rank}(A)。
特征值：投影阵的特征值只能是 0 或 1；本题 AA^+ 的特征值为 1,1,0,0（2 个 1 对应像空间维数，2 个 0 对应与其正交的方向）。对称阵可用特征多项式 \det(\lambda I-P)=0 求解。
像空间 \mathcal{R}(A)：A 的列空间，\{A\mathbf{x}:\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\}，即 A 能"到达"的全部向量。
Ax=b 有解 \Leftrightarrow b\in\mathcal{R}(A)；\dim\mathcal{R}(A)=\mathrm{rank}(A)。本题 \mathrm{rank}(A)=2，故 AA^+ 把向量投到一个 2 维子空间上。
零空间 N(A)：\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}，即被 A 映成零向量的全体输入。
秩–零化度定理：\dim N(A)+\mathrm{rank}(A)=n（A 为 m\times n）。
对投影阵 P=AA^+，特征值 1 对应 \mathcal{R}(A)，特征值 0 对应 \mathcal{R}(A) 的正交补（投影后被消去的方向）。
特征值与特征向量的意义：若 P\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} 且 \mathbf{v}\neq\mathbf{0}，则 \mathbf{v} 为特征向量，\lambda 为特征值。
含义：P 作用在 \mathbf{v} 上只伸缩、不转向，伸缩倍数为 \lambda。
\lambda=1：该方向不变（投影后仍在原处）；\lambda=0：该方向被压成 \mathbf{0}。
不同特征值的特征向量线性无关；对称阵的特征向量还可取成两两正交。
矩阵函数（如 \ln(AA^++E)）作用后，沿各特征向量方向仍只伸缩，倍数变为 f(\lambda)。
【说明】为何分 \mathbb{R} 与 \mathbb{Z} 讨论
Smith 标准型依赖于系数环：在域 \mathbb{R} 上，非零元均可逆，结果恒为 1 与 0，信息主要是秩。在整环 \mathbb{Z} 上，不能随意除法，对角元 d_i 反映更细的整除结构（如本题 d_1=2,\,d_2=52，且 2\mid 52）。AA^+ 含分母，在 \mathbb{Z} 上须先乘 52 消分母得整数矩阵 B，再对 B 做初等变换求 Smith 标准型。
【要点】初等变换化 Smith 型的技巧
pivot 选取：在剩余子块中取绝对值最小的非零元换至 (i,i)，可尽快缩小数值、避免分数。
消元顺序：先消 pivot 列（行加减），再消 pivot 行（列加减），使 pivot 以外行列全为 0。
本题第 4 步：第 2 行仅剩 (-104,\,52)，二者之比为 -2，故交换 C_2,C_4 将 52 换至 pivot 位，再一次列倍加即完成。
验证：对角元应满足 d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_r；本题 2\mid 52。

（4）求 \|\ln(AA^++E)\|_F

解：

AA^+ 对称，特征值为 1,1,0,0，故 AA^++E 的特征值为 2,2,1,1。

矩阵函数与特征值同步，\ln(AA^++E) 的特征值为 \ln 2,\ln 2,0,0。

Frobenius 范数等于特征值模长的平方和开方：

\|\ln(AA^++E)\|_F=\sqrt{(\ln 2)^2+(\ln 2)^2}=\sqrt{2}\,\ln 2\approx 0.9803
\|\ln(AA^++E)\|_F=\sqrt{2}\,\ln 2
【定义】矩阵函数
设 f 为标量函数。若方阵 M 可对角化，M=P\Lambda P^{-1}，\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)，定义
f(M)=Pf(\Lambda)P^{-1},\quad f(\Lambda)=\mathrm{diag}\bigl(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n)\bigr).

即矩阵函数与特征值同步：f(M) 的特征值为 f(\lambda_i)。对 Jordan 形，k\times k 块 J_k(\lambda) 上 f(J_k(\lambda)) 为上三角 Toeplitz 阵，对角元为 f(\lambda)，上超对角涉及 f'(\lambda),f''(\lambda),\ldots。

本题：M=AA^++E 对称，特征值 2,2,1,1>0，故 \ln M 有定义，其特征值为 \ln 2,\ln 2,0,0。

【定义】Frobenius 范数（F 范数）
对 m\times n 矩阵 M=(m_{ij})，Frobenius 范数定义为
\|M\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|m_{ij}|^2}=\sqrt{\mathrm{tr}(M^{\mathrm T}M)}.

亦等于奇异值平方和的开方：\|M\|_F=\sqrt{\sum_k\sigma_k^2}。若 M 为正规矩阵（如对称阵），则

\|M\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|\lambda_i|^2}.

本题：\ln(AA^++E) 对称，特征值 \ln 2,\ln 2,0,0，故 \|\ln(AA^++E)\|_F=\sqrt{2(\ln 2)^2}=\sqrt{2}\,\ln 2。

第2题（10分）

已知

A=\begin{pmatrix}2&1&1&2\\4&5&3&7\\6&9&7&13\\4&5&9&14\end{pmatrix},\quad b=(1,2,3,3)^{\mathrm T}

（1）求 A 的 LU 分解（L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）

解：

用 Doolittle 方法，主元存入 U，乘数 l_{ik}=a_{ik}^{(k)}/a_{kk}^{(k)} 存入 L。

消第 1 列（u_{11}=2）：

l_{21}=\frac{4}{2}=2,\quad l_{31}=\frac{6}{2}=3,\quad l_{41}=\frac{4}{2}=2

更新后第 2 列主元 u_{22}=3。

消第 2 列：

l_{32}=\frac{6}{3}=2,\quad l_{42}=\frac{3}{3}=1

更新后第 3 列主元 u_{33}=2。

消第 3 列：

l_{43}=\frac{6}{2}=3

得

L=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\2&1&0&0\\3&2&1&0\\2&1&3&1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}2&1&1&2\\0&3&1&3\\0&0&2&1\\0&0&0&4\end{pmatrix}

验算：A=LU。

【定义】LU 分解
若方阵 A 可分解为 A=LU，其中 L 为下三角阵，U 为上三角阵，则称该分解为 LU 分解。它把原矩阵化为两个三角阵的乘积，便于求逆、解方程组、求行列式（\det A=\det L\cdot\det U，三角阵行列式等于对角元之积）。LU 分解本质上就是 Gauss 消元法的矩阵形式：消元过程写入 L，消元结果写入 U。
【方法】Doolittle 分解
Doolittle 方法是一种 LU 分解，约定 L 的对角元全为 1（单位下三角阵），U 的对角元即为消元主元。第 k 步乘数为
\ell_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}}\quad(i=k+1,\ldots,n),

存入 L 的第 k 列下方，同时更新 A^{(k+1)}。本题无需选主元，按列消元即得 L 与 U。与之对照：Crout 方法令 U 的对角元为 1；LDU 分解则同时提取对角块。

（2）利用 LU 分解解 Ax=b

解：

令 Ly=b，下三角回代：

\begin{cases} y_1=1\\ y_2+2y_1=2\Rightarrow y_2=0\\ y_3+3y_1+2y_2=3\Rightarrow y_3=0\\ y_4+2y_1+y_2+3y_3=3\Rightarrow y_4=1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad y=(1,0,0,1)^{\mathrm T}

再令 Ux=y，上三角回代：

\begin{cases} 4x_4=1\Rightarrow x_4=\dfrac{1}{4}\\[4pt] 2x_3+x_4=0\Rightarrow x_3=-\dfrac{1}{8}\\[4pt] 3x_2+x_3+3x_4=0\Rightarrow x_2=-\dfrac{5}{24}\\[4pt] 2x_1+x_2+x_3+2x_4=1\Rightarrow x_1=\dfrac{5}{12} \end{cases}
x=\left(\dfrac{5}{12},-\dfrac{5}{24},-\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4}\right)^{\mathrm T}
【意义】解线性方程组 Ax=b
求 x 使 Ax=b 成立，即寻找未知量向量，使线性组合 x_1\boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n=b（\boldsymbol{\alpha}_j 为 A 的列）成立。几何上，即求 b 是否在 A 的列空间中；代数上，是线性方程组求解。
与 LU 分解的关系：Ax=b\Leftrightarrow LUx=b。先令 Ly=b（前代，L 单位下三角，易解），再令 Ux=y（回代，U 上三角，易解）。三角方程组只需 O(n^2) 运算，且同一 A 对多个不同的 b 只需分解一次 A=LU，反复回代即可——这正是 LU 分解在数值计算中的核心价值。

第3题（10分）

已知

A=\begin{pmatrix}5&0&0\\4&3&3\\1&2&2\end{pmatrix}

（1）求 A 的 Jordan 标准型 J_A

解：

第一步：求特征值。 计算特征多项式：

\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=\det\begin{pmatrix}\lambda-5&0&0\\-4&\lambda-3&-3\\-1&-2&\lambda-2\end{pmatrix}\\ &=(\lambda-5)\bigl[(\lambda-3)(\lambda-2)-6\bigr]\\ &=(\lambda-5)(\lambda^2-5\lambda)=\lambda(\lambda-5)^2. \end{aligned}

得特征值 \lambda_1=0（代数重数 1），\lambda_2=\lambda_3=5（代数重数 2）。

第二步：求各特征值的几何重数。 几何重数 g_i=n-\mathrm{rank}(A-\lambda_i I)。

对 \lambda=0：

A=\begin{pmatrix}5&0&0\\4&3&3\\1&2&2\end{pmatrix},\quad \mathrm{rank}(A)=2 \quad\Rightarrow\quad g_0=3-2=1.

对 \lambda=5：

A-5I=\begin{pmatrix}0&0&0\\4&-2&3\\1&2&-3\end{pmatrix},\quad \mathrm{rank}(A-5I)=2 \quad\Rightarrow\quad g_5=3-2=1.

第三步：确定 Jordan 块。 对每个特征值 \lambda_i，块的个数由几何重数 g_i 决定，各块阶数之和由代数重数 n_i 决定，二者联立确定块结构。汇总：

特征值 \lambda 代数重数 几何重数 g Jordan 块
0 1 1 一个 1\times 1 块 J_1(0)
5 2 1 一个 2\times 2 块 J_2(5)

（g_5=1<n_5=2：恰有一个 2 阶块；若 g_5=2=n_5 则应为两个 1 阶块。）

第四步：写出 J_A。 取块对角排列（先 \lambda=0，后 \lambda=5）：

J_A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&5&1\\0&0&5\end{pmatrix}

即 J_A=\mathrm{diag}\bigl(J_1(0),J_2(5)\bigr)，其中 J_1(0)=(0)，J_2(5)=\begin{pmatrix}5&1\\0&5\end{pmatrix}。

【方法】如何求 Jordan 标准型
① 求特征多项式，得各特征值 \lambda_i 及其代数重数 n_i。
② 对每个 \lambda_i，算 \mathrm{rank}(A-\lambda_i I)，得几何重数 g_i=n-\mathrm{rank}(A-\lambda_i I)。
③ 代数重数 n_i 与几何重数 g_i 联立确定 Jordan 块：块的个数 =g_i，各块阶数之和 =n_i。常见情形：g_i=n_i 时有 n_i 个 1 阶块（可对角化）；g_i=1 时仅一个 n_i 阶块 J_{n_i}(\lambda_i)；1<g_i<n_i 时须再算 \dim\ker(A-\lambda_i I)^k（k=1,2,\ldots）才能完全确定各块阶数。
④ 拼成块对角矩阵 J_A（若题目未要求，可不求相似变换矩阵 P）。
【例】1 \lt g \lt n 时用 \dim\ker(A-\lambda I)^k 定块阶数
设
A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

特征多项式 \det(\lambda I-A)=\lambda^3，故 \lambda=0 的代数重数 n=3。又 \mathrm{rank}(A)=1，几何重数 g=3-1=2：已知有 2 个块、阶数之和为 3，但究竟是 J_2(0)+J_1(0) 还是别的拆分，g 与 n alone 无法区分。

维数链：记 \nu_k=\dim\ker(A-\lambda I)^k（\nu_0=0）。逐算 A^k：

A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad A^3=O.

如何算 \dim\ker(A)？ 本题 \lambda=0，故 \ker(A-\lambda I)=\ker(A)，即解齐次方程组 A\mathbf{x}=\mathbf{0}：

\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \;\Rightarrow\; \begin{cases} x_2=0 \\ 0=0 \\ 0=0 \end{cases}

x_1,x_3 任意，x_2=0。通解 \mathbf{x}=(x_1,0,x_3)^{\mathrm T}=x_1(1,0,0)^{\mathrm T}+x_3(0,0,1)^{\mathrm T}，故 \dim\ker(A)=2（也可由秩–零化度：\mathrm{rank}(A)=1，n=3，得 3-1=2）。

同理，A^2=O 时 A^2\mathbf{x}=\mathbf{0} 对一切 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 成立，故 \ker(A^2)=\mathbb{R}^3，\dim\ker(A^2)=3。

故 \nu_1=\dim\ker(A)=2，\nu_2=\dim\ker(A^2)=3，\nu_3=3。

读块阶数：阶数 \geqslant k 的块数为 \nu_k-\nu_{k-1}。

  • k=1：\nu_1-\nu_0=2-0=2 个块（与 g=2 一致）；
  • k=2：\nu_2-\nu_1=3-2=1 个块阶数 \geqslant 2，即恰有一个 2 阶块；
  • 另一块必为 1 阶：J_1(0)。
于是
A\sim J_A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\mathrm{diag}\bigl(J_2(0),\,J_1(0)\bigr).

对比：若 A=\mathrm{diag}(J_2(0),J_2(0))（4 阶），同样有 n=4,\,g=2，但 \nu_2=\dim\ker(A^2)=4，得 \nu_2-\nu_1=2 个块阶数 \geqslant 2，故为两个 2 阶块而非 J_3+J_1。可见 1 \lt g \lt n 时必须比较 \nu_k 才能定阶数。

（2）求 \sin A+\ln(A^3+E) 的 Jordan 标准型

解：

第一步：化为标量函数。 令

f(x)=\sin x+\ln(x^3+1),\qquad f'(x)=\cos x+\frac{3x^2}{x^3+1}.

则 \sin A+\ln(A^3+E)=f(A)（注意：\ln(A^3+E) 是对整体 A^3+E 取对数，不能拆成 3\ln A）。

第二步：在 Jordan 块上计算 f(J)。 若 A=PJ_A P^{-1}，则 f(A)=Pf(J_A)P^{-1}。对 k 阶 Jordan 块 J_k(\lambda)，

f\bigl(J_k(\lambda)\bigr)= \begin{pmatrix} f(\lambda)&f'(\lambda)&\cdots\\ 0&f(\lambda)&\cdots\\ &\ddots&\ddots \end{pmatrix}.

由（1），J_A=\mathrm{diag}\bigl(J_1(0),J_2(5)\bigr)，故

f(J_1(0))=\bigl(f(0)\bigr)=(0),\qquad f(J_2(5))=\begin{pmatrix}f(5)&f'(5)\\0&f(5)\end{pmatrix}.

其中

f(0)=\sin 0+\ln 1=0,\qquad f(5)=\sin 5+\ln 126,\qquad f'(5)=\cos 5+\frac{75}{126}=\cos 5+\frac{25}{42}\neq 0.

第三步：化为 Jordan 标准型。 f(J_2(5)) 一般还不是标准 Jordan 形——其上超对角元为 f'(5)，不是 1。因 f'(5)\neq 0，

\begin{pmatrix}f(5)&f'(5)\\0&f(5)\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}f(5)&1\\0&f(5)\end{pmatrix}=J_2\bigl(f(5)\bigr),

故 f(5) 仍对应一个 2\times 2 Jordan 块（f'(5)=0 时才可能分裂为两个 1\times1 块）。

第四步：写出结果。 与（1）中块排列一致，

J_f= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&f(5)&1\\ 0&0&f(5) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&\sin 5+\ln 126&1\\ 0&0&\sin 5+\ln 126 \end{pmatrix}

亦可将 f(5) 的块排在前面，等价地写为 \mathrm{diag}\bigl(J_2(f(5)),J_1(0)\bigr)。

【定理】Jordan 块上的矩阵函数
设 J_k(\lambda) 为 k 阶 Jordan 块，f 在 \lambda 处足够光滑，则 f(J_k(\lambda)) 为上三角 Toeplitz 阵：对角元全为 f(\lambda)，第 m 条上超对角涉及 f^{(m)}(\lambda)/m!。k=2 时即为 \begin{pmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)\\0&f(\lambda)\end{pmatrix}。
【易错】f(J) 与 Jordan 标准型
f(J_k(\lambda)) 给出的是 f(A) 在相似变换下的一种表示，其超对角元为 f'(\lambda) 等，未必等于 Jordan 标准型。题目若要求 Jordan 标准型，还需判断 \begin{pmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)\\0&f(\lambda)\end{pmatrix} 是否相似于 \begin{pmatrix}f(\lambda)&1\\0&f(\lambda)\end{pmatrix}：f'(\lambda)\neq 0 时仍为一个 2\times2 块；f'(\lambda)=0 时可能对角化。
【说明】复合矩阵函数
\sin A+\ln(A^3+E) 应整体视为 f(A)，f(x)=\sin x+\ln(x^3+1)。不能写成 \sin A+3\ln A。求导时用链式法则：\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(x^3+1)=\dfrac{3x^2}{x^3+1}。
【公式】矩阵函数在 Jordan 块上的表达式
设 k 阶 Jordan 块
J_k(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda&1&&\\ &\lambda&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ &&&\lambda \end{pmatrix},\qquad N_k=J_k(\lambda)-\lambda I_k

（N_k 为幂零阵：N_k^k=O）。若 f 在 \lambda 处 k-1 阶可导，则

f\bigl(J_k(\lambda)\bigr)=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{f^{(m)}(\lambda)}{m!}\,N_k^m.

展开后 f(J_k(\lambda)) 为上三角 Toeplitz 阵：对角元全为 f(\lambda)；第 1 条上超对角为 f'(\lambda)；第 2 条为 f''(\lambda)/2!；依此类推。一般地，(i,j) 元（i\leqslant j）为

\frac{f^{(j-i)}(\lambda)}{(j-i)!}.

低阶情形：

  • k=1：f(J_1(\lambda))=\bigl(f(\lambda)\bigr)；
  • k=2：f(J_2(\lambda))=\begin{pmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)\\0&f(\lambda)\end{pmatrix}（本题用到）；
  • k=3：f(J_3(\lambda))=\begin{pmatrix}f(\lambda)&f'(\lambda)&f''(\lambda)/2\\0&f(\lambda)&f'(\lambda)\\0&0&f(\lambda)\end{pmatrix}。
原理简述：对 J_k(\lambda)=\lambda I_k+N_k 用 Taylor 展开 f(\lambda+N_k)=\sum_{m\geqslant 0}\frac{f^{(m)}(\lambda)}{m!}N_k^m，而 N_k^m=O 当 m\geqslant k，故求和止于 k-1 项。

第4题（10分）

设 P_3(t) 为次数 \leqslant 3 的多项式空间，对 f(t)\in P_3(t) 定义

T(f(t))=(tf(t))''+f(1)

（1）求 R(T) 的一组基与 \dim N(T)

解：

设 f(t)=a+bt+ct^2+dt^3，则 tf(t)=at+bt^2+ct^3+dt^4，

(tf)''=2b+6ct+12dt^2,\qquad f(1)=a+b+c+d,

故

T(f)=2b+6ct+12dt^2+(a+b+c+d).

在标准基 1,t,t^2,t^3 下，逐基向量求像（f(1) 表示把 t 代入 1 求值）。对每个基向量，分三步：算 (tf)''、算 f(1)、相加得 T(f)，再写出在标准基下的坐标。

f(t)=1（a=1,b=c=d=0）：tf=t，(tf)''=0；f(1)=1；T(1)=0+1=1，坐标 (1,0,0,0)^{\mathrm T}。

f(t)=t（b=1）：tf=t^2，(tf)''=2；f(1)=1；T(t)=2+1=3，坐标 (3,0,0,0)^{\mathrm T}。

f(t)=t^2（c=1）：tf=t^3，(tf)''=6t；f(1)=1；T(t^2)=1+6t，坐标 (1,6,0,0)^{\mathrm T}。

f(t)=t^3（d=1）：tf=t^4，(tf)''=12t^2；f(1)=1；T(t^3)=1+12t^2，坐标 (1,0,12,0)^{\mathrm T}。

汇总：

f(t) (tf)'' f(1) T(f)
1 0 1 1
t 2 1 3
t^2 6t 1 1+6t
t^3 12t^2 1 1+12t^2

坐标分别为 (1,0,0,0)^{\mathrm T}、(3,0,0,0)^{\mathrm T}、(1,6,0,0)^{\mathrm T}、(1,0,12,0)^{\mathrm T}，第 j 列为 T(t^{j-1}) 的坐标，得

[T]=\begin{pmatrix}1&3&1&1\\0&0&6&0\\0&0&0&12\\0&0&0&0\end{pmatrix}
【概念】像空间 R(T) 是什么？
R(T)=\{T(f):f\in P_3(t)\}，即 T 作用后能到达的全部多项式的集合，也叫值域。本题 T(f) 最高只有 t^2 项，故 R(T)\subseteq\mathrm{span}\{1,t,t^2\}；又 \mathrm{rank}[T]=3，故 R(T)=\mathrm{span}\{1,t,t^2\}。
【方法】"逐基向量求像"的求解过程
① 取标准基 1,t,t^2,t^3，每次只选一个基向量作为 f(t)（等价于 a,b,c,d 中一个为 1、其余为 0）。
② 对该 f：先算 tf，再求 (tf)''；同时算 f(1)；两者相加得 T(f)。
③ 把 T(f) 写成 c_0+c_1 t+c_2 t^2+c_3 t^3，得坐标 (c_0,c_1,c_2,c_3)^{\mathrm T}。
④ 四个坐标向量按列排成 [T]，第 j 列对应 T(t^{j-1})。

对 [T] 作行化简：

\begin{pmatrix}1&3&1&1\\0&0&6&0\\0&0&0&12\\0&0&0&0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&3&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}

主元在第 1,3,4 列，\mathrm{rank}[T]=3，故 \dim R(T)=3。

由像向量：

1+6t=1+6t,\quad 1+12t^2=1+12t^2,\quad 3=3\cdot 1,

得 R(T)=\mathrm{span}\{1,t,t^2\}。一组基为

\{1,\,t,\,t^2\}

\dim N(T)：由秩–零化度定理，\dim N(T)=n-\mathrm{rank}[T]=4-3=1。

\dim N(T)=1

（题目只要求核的维数，不必解 [T]\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} 求 N(T) 的基向量。若需核的基，可解得 N(T)=\mathrm{span}\{t-3\}。）

【定义】线性算子的矩阵表示
设 T:V\to V，\dim V=n，取基 v_1,\ldots,v_n。第 j 列 of [T] 为 T(v_j) 在该基下的坐标。本题 T(f)=(tf)''+f(1) 有两部分，求 (tf)'' 时注意 (t^n)''=n(n-1)t^{n-2}，且勿漏加 f(1)。
【定义】值域与核
R(T)=\{T(f):f\in V\}，\dim R(T)=\mathrm{rank}[T]；N(T)=\{f:T(f)=0\}，\dim N(T)=n-\mathrm{rank}[T]（秩–零化度定理）。R(T) 的基可取主元列对应向量，再化简为较简的多项式组（如 \{1,t,t^2\}）。

（2）将 R(T) 的基扩充为 P_3(t) 的一组基

解：

R(T)=\mathrm{span}\{1,t,t^2\}，而 t^3\notin R(T)（T(f) 中最高次项只来自 (tf)''，次数不超过 2）。将 t^3 添入即得 P_3(t) 的一组基：

\mathcal{B}=\{1,\,t,\,t^2,\,t^3\}

（3）求 1-t-t^2-t^3 在基 \mathcal{B} 下的坐标

解：

在基 1,t,t^2,t^3 下，1-t-t^2-t^3 的坐标即为其系数向量：

\left(1,-1,-1,-1\right)^{\mathrm T}

验算：1\cdot 1+(-1)\cdot t+(-1)\cdot t^2+(-1)\cdot t^3=1-t-t^2-t^3。

【方法】基扩充与坐标
基扩充：从 R(T) 的基出发，加入不在 R(T) 中的向量（维数补到 \dim P_3(t)=4）。
坐标：若新基为 \mathcal{B}=\{1,t,t^2,t^3\}，则 a+bt+ct^2+dt^3 的坐标为 (a,b,c,d)^{\mathrm T}。若用其他基 \mathcal{B}'，则坐标 \mathbf{c}_{\mathcal{B}'}=B^{-1}\mathbf{c}_{\mathrm{std}}，其中 B 为 \mathcal{B}' 各向量在标准基下的坐标列排成的矩阵。