模拟2 解答
第1题（10分）
设 P_2(t) 为次数 \leqslant 2 的多项式全体构成的线性空间。对任意 f(t),g(t)\in P_2(t)，定义内积
（1）求多项式 1-t 的长度
解：
多项式 1-t 的长度即其在上述内积下的范数：
（2）记 W=\mathrm{span}\{1-t\}，求 W^\perp
解：
W^\perp=\{p(t)\in P_2(t):(p(t),\,1-t)=0\}。设 p(t)=a+bt+ct^2，则
即 6a+2b+c=0。该方程有 2 个自由未知量，故 \dim W^\perp=2。
取两组无关整数解：
- a=1,b=0,c=-6 \Rightarrow p_1(t)=1-6t^2；
- a=0,b=1,c=-2 \Rightarrow p_2(t)=t-2t^2。
可验证 (p_1,1-t)=0，(p_2,1-t)=0，且 p_1,p_2 线性无关。
设 (\cdot,\cdot) 为线性空间 V 上的内积。向量 v\in V 的长度（范数）定义为 \|v\|=\sqrt{(v,v)}。须满足 (v,v)\geqslant 0，且 (v,v)=0\Leftrightarrow v=0。本题 (f,g)=\int_0^1 f(t)g(t)\,\mathrm{d}t 为 P_2(t) 上的标准内积之一。
设 W 为内积空间 V 的子空间。W 的正交补定义为
若 W=\mathrm{span}\{u\} 为一维子空间，则 W^\perp=\{v:(v,u)=0\}，即"与 u 正交"的全部向量。有 \dim W+\dim W^\perp=\dim V；本题 \dim W=1，故 \dim W^\perp=3-1=2。
① 写出 W 的生成元 u；② 设 p\in V 的一般形式（本题 p=a+bt+ct^2）；③ 令 (p,u)=0 得系数齐次方程；④ 求方程基础解系，即为 W^\perp 的一组基。亦可对 \{u,1,t,t^2\} 施行 Gram–Schmidt 正交化，但直接解方程更快捷。
第2题（10分）
在线性空间 \mathbb{R}^{2\times 2} 中有下列 5 个向量：
令 V=\mathrm{span}\{\alpha_1,\alpha_2\}，W=\mathrm{span}\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}。
（1）证明：\alpha_2\in W
解：
将 2\times 2 矩阵按列展开为 \mathbb{R}^4 中的向量。设
等价于线性方程组（按列优先向量化）：
对增广矩阵作行化简，得
有解。取特解 x_1=\dfrac{5}{4}，x_2=\dfrac{7}{4}，x_3=-\dfrac{5}{2}，则
验算：
故 \alpha_2\in W。
（2）判别 V+W 是否是直和，并说明理由
解：
V+W 为直和当且仅当 V\cap W=\{0\}（等价地，V+W 中每个向量分解 v+w 唯一）。
由（1），\alpha_2\in W；又 \alpha_2\in V=\mathrm{span}\{\alpha_1,\alpha_2\}，故 \alpha_2\neq 0 且 \alpha_2\in V\cap W。
因此 V\cap W\neq\{0\}，V+W\ \text{不是直和}。
\mathbb{R}^{2\times 2} 与 \mathbb{R}^4 同构。常将矩阵 A=(a_{ij}) 按列优先（或按行优先，须前后一致）排成 4 维列向量，从而"矩阵的线性组合问题"化为通常的线性方程组。
设 V_1,V_2 为线性空间 V 的子空间。若 V_1+V_2 中每个向量可唯一写成 v_1+v_2（v_i\in V_i），则称 V_1+V_2 为直和，记作 V_1\oplus V_2。等价条件：V_1\cap V_2=\{0\}，或 \dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2。
要证 \alpha\in\mathrm{span}\{\beta_1,\ldots,\beta_k\}，即解 \alpha=x_1\beta_1+\cdots+x_k\beta_k。向量化后列增广矩阵作行化简：有解则属于该张成空间；无解则不属于。本题（1）行化简后无矛盾行，故 \alpha_2\in W。
若已找到非零向量同时属于 V 与 W，则立即断定 V+W 不是直和，无需再算维数。本题 \alpha_2 即这样的向量。反之，要证是直和，需证 V\cap W=\{0\}，可解齐次方程组 x_1\alpha_1+x_2\alpha_2=y_1\beta_1+y_2\beta_2+y_3\beta_3 仅有零解。
第3题（10分）
已知 4\times 5 矩阵
经初等行变换，得行阶梯形
（1）求 A 的满秩分解和 A^+
解：
由行阶梯形，主元在第 1、3 列，故 \mathrm{rank}(A)=2。
继续化为行最简形：
读出列向量关系（记 c_i 为 A 的第 i 列）：
取两个线性无关列作 F，系数矩阵作 G，得满秩分解 A=FG（F\in\mathbb{R}^{4\times 2}，G\in\mathbb{R}^{2\times 5}）：
验证：FG=A。
由满秩分解 A=FG，Moore–Penrose 广义逆为
先算
代入计算，得
（2）求 Ax=b 的极小范数最小二乘解，其中 b=(1,1,1,1)^{\mathrm T}
解：
因 \mathrm{rank}(A)=2<4，而 b\in\mathbb{R}^4，方程组一般不相容。极小范数最小二乘解为
计算：
此时 Ax=AA^+b，为 b 在 \mathcal{R}(A) 上的正交投影。
当 Ax=b 不相容时，称 x 为最小二乘解，若它使残差 \|Ax-b\|_2 最小。最小二乘解通常不唯一；其中欧氏范数 \|x\|_2 最小者，称为极小范数最小二乘解，记为 x=A^+b（A^+ 为 Moore–Penrose 广义逆）。
设 W=\mathcal{R}(A)\subseteq\mathbb{R}^m。向量 b\in\mathbb{R}^m 在 W 上的正交投影 p 满足：p\in W，且 b-p\perp W。对列空间投影，P_W=AA^+，故 p=AA^+b=Ax，即为 b 在 \mathcal{R}(A) 上的正交投影。
（3）写出 A^+A 的 Smith 标准型
解：
先算
A^+A 为对称幂等阵，\mathrm{rank}(A^+A)=2，特征值为 1,1,0,0,0。
在域 \mathbb{R} 上：秩为 2，Smith 标准型为
在 \mathbb{Z} 上：A^+A 含分母，先同乘 16 化为整数矩阵
\mathrm{rank}(B)=2。对 B 施以初等行、列变换（只做整数加减与换行换列），化为对角形：
第 1 步：将最小非零元 1 换至 (1,1) 位——R_1\leftrightarrow R_3：
第 2 步：以 a_{11}=1 为 pivot，消去第 1 列其余元素：
再作列变换 C_2\leftarrow C_2-C_1，C_4\leftarrow C_4-C_1，C_5\leftarrow C_5-6C_1，得
第 3 步：在右下角子块中取最小元 8，R_2\leftarrow -R_2，再 R_4\leftarrow R_4+2R_2 消去，得第二 pivot 8；继续列倍加消去同行其余元，并删去零行零列。
第 4 步：整理得
对角元 d_1=1,\;d_2=8，满足 1\mid 8，即为 B（亦即 16\cdot A^+A）在 \mathbb{Z} 上的 Smith 标准型。
（4）求 \|e^{A^+A}\|_F
解：
A^+A 为对称幂等阵（投影阵），特征值为 1,1,0,0,0。
矩阵指数与特征值同步：e^{A^+A} 的特征值为 e,e,1,1,1。
A^+A 为正规阵（对称），Frobenius 范数等于特征值模长平方和的开方：
（亦可利用幂等性：e^{A^+A}=I+(e-1)A^+A，直接按定义求 Frobenius 范数，结果相同。）
设 \mathrm{rank}(A)=r。若 A=FG，其中 F 列满秩（r 列）、G 行满秩（r 行），则称 A=FG 为满秩分解。其 Moore–Penrose 广义逆为
A^+ 满足 AA^+A=A，A^+AA^+=A^+，且 AA^+、A^+A 均为对称幂等阵。
对矩阵 A，允许做初等行变换和初等列变换，把它化成对角矩阵 S，称为 A 的 Smith 标准型。在 \mathbb{R} 上结果恒为 \mathrm{diag}(\underbrace{1,\ldots,1}_{r},0,\ldots,0)；在 \mathbb{Z} 上须先消分母化为整数阵，对角元 d_i 满足 d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_r。
① 对 A 作行化简得 RREF；② 主元列标出 r 个线性无关列，组成 F；③ 由列关系读出 G，使 A 的每一列都是 F 各列的线性组合，组合系数排成 G 的列；④ 验证 FG=A。
A^+A 与 AA^+ 均为对称幂等阵：(A^+A)^{\mathrm T}=A^+A，(A^+A)^2=A^+A。特征值只能是 0 或 1；\mathrm{rank}(A^+A)=\mathrm{rank}(A)=2。故 e^{A^+A}=I+(e-1)A^+A（矩阵指数在幂等阵上可如此简化）。
对矩阵 M，\|M\|_F=\sqrt{\sum_{i,j}|m_{ij}|^2}=\sqrt{\mathrm{tr}(M^{\mathrm T}M)}。若 M 为正规阵（如对称阵），则 \|M\|_F=\sqrt{\sum_i|\lambda_i|^2}。本题 e^{A^+A} 对称，特征值 e,e,1,1,1，故 \|e^{A^+A}\|_F=\sqrt{2e^2+3}。
第4题（10分）
已知
（1）求 A 的 LU 分解（L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）
解：
用 Doolittle 方法，主元存入 U，乘数 l_{ik}=a_{ik}^{(k)}/a_{kk}^{(k)} 存入 L。
消第 1 列（u_{11}=2）：
更新后第 2 列主元 u_{22}=4。
消第 2 列（u_{22}=4）：
更新后第 3 列主元 u_{33}=4。
消第 3 列：
得
验算：LU=A。
（2）利用 LU 分解解 Ax=b
解：
令 Ly=b（前代），再令 Ux=y（回代）。
前代 Ly=b：
回代 Ux=y：
验算 Ax=b 成立。
若方阵 A 可分解为 A=LU，其中 L 为单位下三角阵（对角元全为 1），U 为上三角阵，则称该分解为 LU 分解。它把 Gauss 消元过程编码为矩阵乘法：消元乘数写入 L，消元结果写入 U。
第 k 步乘数 l_{ik}=\dfrac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}}（i>k），并更新 a_{ij}^{(k+1)}=a_{ij}^{(k)}-l_{ik}a_{kj}^{(k)}（i,j>k）。主元 u_{kk}=a_{kk}^{(k)} 存入 U 对角元。无行交换时可直接按公式计算。
Ax=b\Leftrightarrow LUx=b。分两步：① 前代解 Ly=b（L 单位下三角，逐行求 y_i）；② 回代解 Ux=y（U 上三角，从 x_n 逆推）。同一 A 对多个 b 只需分解一次。
前代按 i=1,2,\ldots,n 递增求 y_i；回代按 i=n,n-1,\ldots,1 递减求 x_i。切勿混淆。代入 Ly=b 时，y_i 仅依赖 y_1,\ldots,y_{i-1}；代入 Ux=y 时，x_i 仅依赖 x_{i+1},\ldots,x_n。